Üç tabanının gizli verimliliği ve bu temelde inşa edilmiş bir oyunun sessizce daha zarif bir makine olup olmadığı.
İngilizce yazılmış ve düzenlenmiştir. Bu Türkçe sürüm makine çevirisiyle oluşturulmuştur; kesinliğin önemli olduğu yerlerde İngilizce özgün metin esas alınmalıdır. İngilizce orijinalini okuyun →
3927, üç boyutta ve farklı bir aritmetikte yeniden inşa edilmiş 2048'dir. Tahta 3×3×3'lük bir küptür, yirmi yedi kare içerir ve tüm küpü altı yönden herhangi birine doğru itersiniz. Eşit değerde üç karo çarpıştığında, değeri ikiye katlanmaz; üçe katlanır. Üç dokuz olur, dokuz yirmi yedi olur ve böyle devam eder: 81, 243, 729. Adının kendisi ilk üç karoyu artan sırayla sayar: 3·9·27 ve tasarımın her yönü en alt seviyeye kadar üçlerle doludur: eksen başına üç, birleşme için üç, büyüme katsayısı olarak üç. 4
Atası inatçı bir şekilde ikilidir. Klasik 2048, iki kuvvetleriyle uğraşır: 2, 4, 8, 16… ve karoları çiftler halinde birleştirir. İki, madeni para atışı, transistör ve bitin sayısıdır. Dolayısıyla meraklı bir oyuncunun sorduğu doğal soru, ikiyi üçle değiştirmenin salt bir yenilik olup olmadığı, yoksa üçün her zaman gerçek bir avantajı gizli tutup tutmadığıdır. Görünüşe göre matematiğin bir görüşü var ve bu görüş şaşırtıcı derecede kesin.
Sayıları saklayan bir makine inşa etmeniz gerektiğini hayal edin. Her basamak konumu size bir şey mal olur: bir çark, bir tel, bir tüp ve bu maliyet tabana göre ölçeklenir, çünkü b tabanındaki bir basamak b ayırt edilebilir duruma ihtiyaç duyar. Ancak daha büyük bir taban, herhangi bir sayıya ulaşmak için daha az basamak gerektiği anlamına da gelir. Burada bir gerilim var ve bunun bir adı var: radix economy.
Resmen, N sayısının b tabanında gösteriminin ekonomisi, taban ile basamak sayısının çarpımıdır: E(b,N) = b ⌊logb N + 1⌋. 1 Büyük bir taban size kısa sayılar satın alır ama pahalı basamaklar gerektirir; küçük bir taban basamak başına ucuzdur ama yayılır. Bu iki uç arasında bir tatlı nokta bulunur ve bu nokta değildir teknolojinin çoğunun yerleştiği yer.
| Taban | b ÷ ln b | optimuma kıyasla |
|---|---|---|
| 2 | 2.885 | +6.2% |
| 3 | 2.731 | +0.5% |
| e ≈ 2.718 | 2.718 | optimum |
| 10 | 4.343 | +59.8% |
Büyük N değerleri için ekonomi (b ÷ ln b) · ln N gibi davranır, bu nedenle bir tabanın verimliliği tamamen b ÷ ln b faktörüne dayanır. Bunu biraz türevle minimize edin ve cevap kesin ve garip olur: en ekonomik taban e'dir, yaklaşık 2,71828. 1 Elbette basamak başına 2,718 duruma sahip bir bilgisayar inşa edemezsiniz. Ama o ideale en yakın tam sayının hangisi olduğunu sorabilirsiniz ve hem ikiyi hem de on'u yenerek kazanan üçtür.
Bu fark akademik değildir. Üç tabanı, teorik optimumun yarım puanlık bir mesafesinde yer alırken, ikili sistem yüzde altı bir ek maliyet öder ve onluk sistem ezici bir yüzde altmış öder. Bunu somut bir şekilde hissetmenin bir yolu: 0'dan 999.999'a kadar her sayıyı yazmak için ikili sistem 20 basamak, onluk sistem 6 basamak gerektirir, ancak üçlü sistem yalnızca 13 basamak gerektirir ve 13×3, 20×2'den daha küçük bir toplamdır. 1 Üç, gerçekten daha az yapıya daha fazla sayma sığdırır.
Doğaya en verimli sayma yöntemini adlandırması istendi ve o irrasyonel bir sayıyla cevap verdi. O cevaba en yakın tam sayı üçtür.
Bu, ders kitaplarının sadece bir merak konusudur. 1958'de, Moskova Devlet Üniversitesi'nde, Nikolay Brusentsov ve matematikçi Sergei Sobolev'in liderliğindeki bir ekip, yapılmış en ünlü üçlü bilgisayar olan Setun'u inşa etti. 3 Batı bitlere yatırım yaparken, Setun trit ile sayıyordu ve özellikle güzel bir şema kullanıyordu: dengeli üçlü, üç hane değeri 0, 1, 2 değil, −1, 0, +1 olan. 2
Simetri hemen karşılığını verir. Bir sayı kendi işaretini taşır, ayrı bir işaret biti yoktur, iki'sin tamamı (two's-complement) kıvrımları yoktur ve herhangi bir değeri tersine çevirmek için her haneyi basitçe çevirirsiniz. Yuvarlama ve kesme aynı işlem olur. Donald Knuth bunu "muhtemelen hepsinin en güzel sayı sistemi" olarak değerlendirdi. 2 Brusentsov, transistör eksikliği nedeniyle, eşleştirilmiş ferrit çekirdeklerinden üç kararlı durum çıkardı; yaklaşık elli Setun inşa edildi, çoğu Sovyet üniversitelerinde matematik öğretmek için gönderildi. 3 Makine çalışıyordu, ucuzdu ve sessizce komşularının önündeydi.
İşte dikkatli bir yazarın kendine direnmesi gereken yer. Taban ekonomisi, belirli maliyet varsayımları altında sayıları depolama ve işleme hakkındaki bir iddiadır ve hatta matematikçiler bile bu varsayımların yalnızca yaklaşık olduğunu, daha kapsamlı bir muhasebenin genellikle ikiliyi yeniden haklı çıkardığını belirtir, bu yüzden dünya onun üzerinde çalışır. 1 Bir birleştirme bulmacası bir bellek bankası değildir; kimse kahve molasında tüp sayılarını minimize etmez. Dolayısıyla 3927, taşıyıcı mühendislik anlamında "daha verimli" değildir ve bunu söylemek hile olurdu.
Ve yine de. Oyun, doğru bir şeyi miras alır. Üç katına çıkarak büyüme, daha az ve daha önemli hamlelerle büyük sayılara ulaşır; her birleştirme daha fazla iş yapar ve 3×3×3 küp, üç yönlü füzyonun her yönde nefes almasına izin veren en küçük tahtadır. 4 Tasarım üçe takılarak rastlamadı, sayma matematiğinin bir asırdır sessizce tercih ettiği, Setun'un mühendislerinin bilinçli olarak seçtiği tam sayıya indi. İki, varsayılan olarak seçtiğimiz sayıdır. Üç, verimlilik ve madeni para atışı son sözü söyleseydi seçeceğimiz sayı olurdu. Karoların 3, 9, 27 yazması, evrenin zaten anlattığı küçük bir şakadır.
Game facts, the 3×3×3 board, six shift directions, three-tile ×3 merge, and the 3·9·27 naming, are measured from the game's design documents. Mathematical and historical claims are drawn from the references below.