Birleşme oyunlarından ikisi, tek bir soru: Bunlardan herhangi biri kusursuz bir şekilde oynanabilir mi? Cevap, bir tahtanın köşesinden, asla gelmeyen bir rakipten ve on yedi üslümlük bir sayıdan geçiyor.
İngilizce yazılmış ve düzenlenmiştir. Bu Türkçe sürüm makine çevirisiyle oluşturulmuştur; kesinliğin önemli olduğu yerlerde İngilizce özgün metin esas alınmalıdır. İngilizce orijinalini okuyun →
Herkesin bildiği oyunla başlayın. 2048, dört yön, 4×4'lük bir ızgara, birbirine dokunduklarında ikiye katlanan karolar; bu oyun, katı bir şekilde, çözümsüzdür. Onu mükemmel bir şekilde oynayan bir algoritma yazan kimse yoktur. Elinizde çok güçlü yaklaşımlar vardır. Sekiz hamle kadar ileriye bakarak ve her tahtayı elle ayarlanmış birkaç heuristikle (açık kareler, kenara sabitlenmiş büyük karolar, düzgünlük) puanlayan bir expectimax araması, oyunlarının üçte birinden fazlasında 32768 karesine ulaşır, 1 ve en güçlü halka açık motor ise 65536 karesine zaman zaman, yüzde birkaç oranında dokunur. 2 m×n'lik bir tahtaya genelleştirildiğinde, hedef bir karenin erişilebilir olup olmadığını belirlemek bile NP-zordur. 3 Güçlü olmak, çözülmüş olmakla aynı şey değildir.
Tek bir kare ne kadar yükseğe tırmanabilir? On altı karede cevap, küçük ve zarif bir sayma parçasıdır. Tahtayı inen bir merdiven gibi yerleştirin: 65536, 32768, 16384, aşağıya doğru tek bir 2'ye kadar. Her kare, komşusundan tam olarak bir ikinin kuvveti aşağıdadır, böylece 21'den 216'ya kadar olan on altı farklı kuvvet tahtayı mükemmel şekilde doldurur ve 65536 = 216 zirvede oturur: Kare başına bir üs. Bu tavan, oyun size yalnızca 2'ler veriyorsa geçerlidir. Ancak 2048, on kereden birinde bir 4 üretir ve iyi zamanlanmış tek bir 4, on yedinci bir üssü sızdırarak gerçek maksimumu 131072 = 217'ye, yani on altı kareye sığdırılmış on yedi karenin değerindeki kuvvetlere yükseltir. 4 Bunu inşa eden bir insan yoktur; birkaç yapay zeka ona dokunmuştur.
Bu tahtalar neden en büyük karenizi bir köşeye yerleştirmenizi ödüllendirir? Ortadaki bir kare dört yöne itilebilir ve evlenmek istediği karolardan sürekli olarak ayrılır. Köşedeki bir kare iki duvara dokunur; yalnızca zaten sarıldığı duvarlara doğru ittiğinizde hareket eder, böylece her şey etrafında organize olurken o sabit kalır. Geri kalanını tek tonlu bir yılan gibi zincirleyin, en büyük köşede olacak şekilde, inen sırayla ileri geri katlayarak, ve tek bir kaydırma birleşme şelalesini tetikleyebilir. 1 Bu, gündelik insan oyununu baskılayan heuristiktir ve ağırlıklarını kendilerinin ayarlamasına izin verdiğinizde yapay zekaların yeniden keşfettiği şeyin neredeyse aynısıdır.
Rastgele üretimlere sahip bir birleşme oyununun rakibi yoktur, yalnızca hava durumu vardır. Onu "çözmek", zihni yenmek değil, ortalama olarak zarları yenmektir.
Şimdi tahtayı üç boyuta eğin. 3927, 2048'in kübik kuzenidir: 27 kareli bir 3×3×3 kafes, dört yerine altı kaydırma yönü ve üçerli kaynaşan karolar; 3'ten 9'a, 9'dan 27'ye, 27'den 81'e, yani 2048 taban ikiyken burada taban üç. 5 Köşe yığma bu fazladan boyutta da geçerliliğini korur mu? Bir küpün sekiz köşesi vardır ve bir köşe karesi artık iki yerine üç yüze değer; aynı anda üç duvara yaslandığı için daha da sağlam olmalıdır, gerçi altı yön tahtaya yapınızı gevşetmek için daha fazla yol verir. Yılan, her üç katmanı boydan boya geçen katlanmış bir yola dönüşür. Bulabildiğim kadarıyla, bu benzetmenin gerçekten geçerli olup olmadığını çözen kimse olmamış; bu bir akıl yürütme, ölçüm değil.
Peki tavan? Kare başına bir üs kuralı, gevşek bir üst sınır olarak 327 ≈ 7,6 trilyon'u önerirdi. Ancak analoji kötü şekilde yıpranır. 2048'in ekstra üssü şanslı bir 4'ten geldi; 3927 yalnızca en küçük kareyi, çıplak bir 3'ü üretir, bu yüzden bir bonus yoktur. Daha da kötüsü, üçlü birleşme, bir çizgide hizalanmış üç kare gerektirir ve 3×3×3'lük bir küpteki her satır, sütun ve direk tam olarak üç kare uzunluğundadır, bu yüzden her birleşme tüm bir çizgiyi tüketir. Bu kısıtlama, düz oyundaki her şeyden çok daha sert ısırır ve gerçek maksimumu büyük olasılıkla 327'ün çok altına çeker. O gerçek sayının ne olduğunu, hiçbir yerde hesaplanmış olarak bulamadım. (Açıkça etiketlenmiş akıl yürütme; yukarıdaki mekanikler oyunun tasarım belgelerinden ölçülmüştür.)
Mükemmel oyunu kayganlaştıran ince nokta budur. Rastgele taş çıkaran bir birleştirme oyunu, tek oyunculu stokastik bir oyundur; zarla oynanan bir soliterdir, düello değildir. Sizi mahvetmek için en kötü taşı seçen bir şey yoktur; yalnızca kayıtsız bir RNG vardır. Dolayısıyla optimal oyunun doğru kavramı expectimax'tır: taşların çıkış dağılımı üzerinden beklenen sonucu en üst düzeye çıkarmak. Bu kesinlikle minimax değildir; minimax bir rakip varsayar ve eğer gerçekten bir rakibin her taşı yerleştirmesine izin verirseniz ("kötü 2048"), oyun, kaybetmeye zorlanabileceğiniz daha acımasız bir şeye dönüşür. Zarlar ilke olarak herhangi bir sırayı dağıtabildiği için, belirli bir taşı garanti eden bir strateji basitçe var olmayabilir. Dolayısıyla "mükemmel bir strateji var mı?" sorusuna dürüst cevap şudur: stokastik bir oyun için tanımlayabileceğiniz en iyi şey ortalama en iyi olandır ve bunu 2048 için 6 tam olarak hesaplamak erişilemezken, 3927 için hâlâ açıktır.