Düz bir ikiler ızgarası ile tamamen üçlerden inşa edilmiş bir küp arasındaki durum uzayı düellosu.
İngilizce yazılmış ve düzenlenmiştir. Bu Türkçe sürüm makine çevirisiyle oluşturulmuştur; kesinliğin önemli olduğu yerlerde İngilizce özgün metin esas alınmalıdır. İngilizce orijinalini okuyun →
Her iki oyun da kaydırma sayı bulmacalarıdır. 2048'de on altı kareli 4×4'lük bir tahtayı dört yönden birine doğru iter; eşit karolar çarpışır ve iki katına çıkar, ikinin kuvvetlerinde yükselir. 3927'de yirmi yedi kareli 3×3×3'lük bir küpü altı yönden birine doğru iter; üç eşit blok çarpışır ve üçe katlanır, üçünün kuvvetlerinde yükselir: 3, 9, 27, isminin tam olarak rakamları. 1 Hangisinin daha zor olduğunu sormak, aslında hangi oyunun olası konumların daha büyük okyanusunu gizlediğini sormaktır. O halde suyu ölçmeye çalışalım.
Bir tahtanın ham boyutu (kare başına sembol sayısı)cells olarak büyür. Kare sayısı üstel terimde yer alır ve tüm kaldıraç gücü oradadır. 2048 on altı kare sunar; 3927 yirmi yedi kare sunar. Kare başına alfabeyi sabit tutun ve küp, yaklaşık a27−16 = a11 faktörüyle zaten daha büyüktür; on sembolü olan bir alfabeyle, bu tek başına başka hiçbir şeyi hesaba katmadan yüz milyar kat daha fazla durum demektir. Ek boyut, taban-3 aritmetiği değil, asıl motordur.
Her kare ya boştur ya da bir taş değerini tutar. 256 taşında sınırlandırılmış 2048 için, bir kare dokuz sembolden birini söyler: boş, artı {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}. Tam olarak bu alfabeden inşa edilmiş yayımlanmış bir üst sınır, 4×4'lük tahtayı yaklaşık 5,63 × 1014 konumda konumlandırır ve yazarlar, bu tavanın asla gerçekleşemeyecek yasa dışı tahtaları da içerdiğini açıkça belirtir. 2 3927'ye karşılaştırılabilir bir derinlik verin: boş artı {3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187}, sekiz sembol, ve ham tavanı 827 ≈ 2,4 × 1024 olur. Taban 3, taban 2'ye kıyasla kare başına daha az sembol sağlar; on bir ek kare ona gökyüzünü geri verir.
Değer merdivenlerini biraz daha derine kaydırın ve 3927'nin tavanı, 2048'in tavanını bir milyar ile yüz milyar kat arasında bir farkla geride bırakır. Küp üstel terimde kazanır.
Tam boyutlu 2048'in ulaşılabilir durumlarını, hele ki 3927'ninkileri kimse saymamıştır. Ancak araştırmacılar küçültülmüş 2048 tahtalarını tümdengimsel olarak çözmüşlerdir ve bu kesin rakamlar tahminlerimizi temellendirir. 2048'in 3×3'lük tahtası 48.713.519 ulaşılabilir durum içerir; 4×3'e uzatıldığında sayı bir trilyonu aşar: 1.152.817.492.752 durum ve 739.648.886.170 farklı hamle sonrası konum. 3 Eklenen her kare dünyayı çarpar. Bu eğriyi 27 kareye dışa vurursanız, dürüst hiçbir tablo tek bir sayı basamaz.
| Özellik | 2048 | 3927 |
|---|---|---|
| Tahta | 4×4 düz | 3×3×3 küp |
| Kareler | 16 | 27 |
| Sayı tabanı | 2 | 3 |
| Birleşme kuralı | 2 eşit → ikiye katlanır | 3 eşit → üçe katlanır |
| Kaydırma yönleri | 4 | 6 |
| Sembol / kare (eşleştirilmiş derinlik) | 9 | 8 |
| Ham tavan (yasa dışı dahil) | ~1.9 × 10¹⁵ | ~2.4 × 10²⁴ |
| Alıntılanan iyileştirilmiş üst sınır | 5.63 × 10¹⁴ | yayımlanmış bir değer yok |
| Kesin sayım, 4×3 alt tahta | 1.15 × 10¹² | , |
Buradaki her büyük sayı bir üst sınırdır veya bir büyüklük sırası tahminidir, asla bir nüfus sayımı değildir. Tavanlar, yasal oyunun asla ulaşamayacağı tahtaları sayar; örneğin üç tek 2 veya hiçbir birleşme dizisinin üretemeyeceği değerler. 2048 rakamları hakemli çalışmalardan alınmıştır; 3927 rakamları benim kendi zarf arkası tavanlarımdır, aynı şekilde hesaplanmıştır ve "bundan daha küçük değil, muhtemelen çok daha az" olarak okunmalıdır. Her iki oyunun kuralları oyunun tasarım belgelerinden ölçülmüştür, varsayılmamıştır.
Durum uzayı boyutu haritadır; dallanma faktörü ise onu ne kadar hızlı yürüdüğünüzdür. Her sıradaki oyuncu bir yön seçer; 2048'de en fazla dört, 3927'de en fazla altı, böylece küp her hamlede yüzde elli daha fazla gerçek seçenek sunar. Ardından şans devreye girer: oyun rastgele boş bir kareye yeni bir karo bırakır. 2048, en fazla on beş boşluk boyunca her açık kare için yaklaşık iki sonuçla bir 2 veya 4 üretir; 3927 ise her zaman tek bir 3 üretir, ancak en fazla yirmi altı boşluğa. 1 Kararı şansla çarpın ve 3927'nin oyun ağacı her ply'de daha geniş açılır; ayrıca üçlü birleşmeler ikili birleşmelerden daha nadir olduğu için, oyunların süresi genellikle daha uzun olur, bu da ağacı hem genişletir hem de derinleştirir.
Bir insan için "daha zor" bir his meselesidir ve 2048 kolay bir rakip değildir; genel bir tahtada rastgele bir konumun hedef bir kareye ulaşıp ulaşamayacağının belirlenmesi kanıtlanabilir şekilde NP-zordur. 4 Ancak bir kombinasyonel nesne olarak, 3927 geniş ve dürüst bir farkla daha büyük bir hayvandır: üstel terimde daha fazla kare, dallanmada daha fazla yön, derinlikte daha uzun oyunlar. Adını veren taban-3 aritmetiği neredeyse bir yanıltıcıdır. Zorluk asla üçlerde değildi. Üçüncü boyuttaydı.
Method: per-cell alphabet counts and the ceilings 916 and 827 are elementary combinatorics on matched value-ladder depths; the 2048 refined bound and exact sub-board counts are quoted from the cited papers. All 3927 figures are the author's estimates computed by the same recipe and are upper bounds, not enumerations. Where the two games' possibility spaces are compared, ratios are stated as ranges to reflect that uncertainty.